Примеры технических контактных задач

В общем виде контактные задачи ставятся следующим образом.

Рассматривается взаимодействие нескольких упругих тел Т1, Т2, …, заданы геометрические образы тел.

Контуры стыкуемых поверхностей тел заданы с учетом отклонений их форм, положения и случайного состояния рельефа. Тела соприкасаются между собой до приложения внешних нагрузок в некоторых точках А₀ или по областям {D₀}, которые заранее известны. Заданы
главный вектор {F} и главный момент {М}, прижимающие тела друг к другу.

Требуется при нагружении тел определить границы области контакта {D}. Подлежат определению так же законы распределения нормальных {N} и касательных {T} контактных давлений, а также перемещение{δ} точек исследуемой поверхности S, а также вектор-столбец напряжений{σ}=[σₓ, σy, σz, σₓy…]T (Т – знак транспонирования) в заданных точках тела.

На практике в зависимости от служебного назначения узлов ТО применяются различные математические модели контактных задач, которые отличаются степенью приближения их к реальном состоянию. В зависимости от различных информационных факторов, учитывающихся при решении контактных задач, их можно классифицировать на три класса: классические, конструкционные и технологические.

В основы классификации положен следующие показатели: количество контактируемых тел; учет вида деформации, контактные, собственные, контактные и собственные; наиболее часто встречающиеся геометрические формы; состояние поверхностей и их рельеф; способ задания
параметров; характер нагружения; характер сближения тел; число областей контактов.

В классических контактных задачах требуется определить при соприкасании тел эпюру контактной нагрузки {N}=p(x) и область {D}=[-a,a] её распределения. Точка А₀ первоначального контактазадана, заданы внешние нагрузки Р и М и коэффициент трения в области соприкасания.

Рассматривается одна область контакта. Поверхности тел принимаются абсолютно гладкимии геометрически правильными. Особенностью таких задач является то, что взаимодействующие тела принимаются недеформируемыми. В то время как контактные деформации поверхностей
моделируются стержневымисвязями или приравниваются к деформациям полуплоскости, полупространства и четверть пространства.

Дальнейшее уточнение задачи достигается введением в расчетную модель кроме контактных, также изгибных деформаций тел и отказом от однопарного контакта. Контактные деформации находятся по аналогии классическим задачам. Изгибные деформации определяются на основе
теории балок, колец, плит, и т.д. Поверхности взаимодействующих тел принимаются в расчетах абсолютно гладкими и точными.

Примером может служить задача тесного контакта цилиндра 1 с цилиндрическим вырезом в корпусе 2, снабженным бандажом 3. Цилиндр нагружен сосредоточенной силой Р.

Расчет контактной задачи ведется при следующих допущениях:

1. Поверхности соприкасающихся тел абсолютно гладкие.
2. Радиусы взаимодействующих поверхностей абсолютно точные и близкие по величине.
3. Поверхности втулки 3 и вала 1 первоначально касаются в точке А₀, находящейся на линии действия заданной радиальной силы Р.
4. Относительный поворот тел вокруг точки А₀ отсутствует.
5. Силами трения пренебрегаем.
6. Деформация контактирующих тел рассматривается согласно принципу суперпозиции, как сумму контактных деформации и изгибной деформации втулки.
7. Упругие контактные перемещения принимаются равными упругим перемещениям сплошных цилиндров (для вала) и цилиндрического выреза (для отверстия), нагруженных диаметрально направленными силами Р (φ), распределенными св интервале (-φ₀ , φ₀).
8. Изгибные перемещения приравниваются к изгибным перемещениям втулки, представляющей кривой брус, лежащий на винклеровском основании.

Дальнейшее приближение модели к реальному прототипу контакта позволило выделить новый класс технологических (имитационных) контактных задач, в котором учитывается влияние на точность положения поверхности не только контактных и собственных деформаций, но и отклонение формы положений, а также допусков на размеры поверхностей.

В приведенных примерах операционной контактной задачи в математической модели присутствуют все типы нелинейности физического, геометрического и контактного типов. В технической задаче показан один тип нелинейности – контактной. Однако это не исключает (при соответствующей постановке задачи) наличия других типов нелинейности.